Hace bastantes días que no aprendemos nada sobre geometría sagrada. Hoy os propongo que conozcamos a un nuevo miembro de la familia de la Proporción Áurea: La Espiral De Harriss.
A l@s matemátic@s les encanta aparecer con cosas nuevas. Un teorema, un lema o un colorario.
Edmund Harris ha descubierto una curva.
Harriss es profesor de matemáticas en la Universidad de Arkansas. También es un artista cuya búsqueda intelectual empezó con una forma famosa que pertenece tanto a la ciencia como al arte, el rectángulo áureo:
Un rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados siguen una proporción acorde con la proporción áurea, que es 1.618. En otras palabras, el lado largo es 1.618 veces el tamaño del lado corto.
Lo que es particularmente interesante del rectángulo áureo es que si dibujamos un cuadrado dentro, como se puede observar en la imagen anterior, la sección que queda (en azul) es un rectángulo áureo más pequeño.
Sigamos. Podemos dividir el rectángulo más pequeño en otro cuadrado y otro rectángulo áureo:
Podemos llevar esta división hasta donde nos apetezca, siempre subdividiendo rectángulos. Y si dibujamos cuartos de círculos dentro de cada cuadrado tenemos una espiral. La imagen que sigue, es probablemente una de las imágenes más famosas de las matemáticas, cuando no de toda la ciencia. La curva se llama la Espiral Áurea:
Inspirado por la construcción clásica de la espiral áurea, Harriss empezó a jugar con el proceso de subdivisión de los rectángulos con la esperanza de ser capaz de generar otras curvas estéticamente placenteras.
Así que, más que empezar con un rectángulo y luego recortarle un cuadrado que deja un rectángulo similar, como hemos visto con el rectángulo áureo, hizo algo subversivo.
«En lugar de recortar un cuadrado, recorté un rectángulo», afirma Harriss.
Encontró un rectángulo que se podría dividir en dos rectángulos semejantes y en un cuadrado como se ve en la imagen que sigue. El rectángulo azul y el rectángulo naranja tienen las mismas proporciones que el rectángulo mayor, una razón del 1.325.
Dado que tenemos dos de estos rectángulos podemos seguir con las divisiones:
Otra y otra y otra vez.
Otra de regalo.
¿Recordáis que para crear una espiral áurea añadimos cuartos de círculos en los cuadrados?, Harriss hizo lo mismo aquí:
Vaya! Otra Espiral. Pero hay cuadrados que hemos dejado vacíos, rellenémoslos.
Y ahora borremos el arco más grande, para conocer la «Espiral de Harriss»:
La primera vez que Harriss vio la espiral estaba super excitado ya que era atractiva estéticamente. Uno de sus primeros objetivos era dibujar espirales ramificadas como las que podemos encontrar en el arte Islámico o en los trabajos de Gustav Klimt. Estaba particularmente satisfecho ya que llegó a la espiral usando un proceso matemático simple.
Harris comenta que: «No es tan difícil hacer algo que nadie haya visto antes […] Lo que es más difícil es hacer algo matemáticamente que satisfaga y que la gente no haya visto antes».
Su primera preocupación fue que a lo mejor alguien ya hubiese dibujado la espiral. «Una cosa sobre los descubrimientos matemáticos y sobre el arte matemático es que, aunque el proceso sea completamente nuevo, no hay garantía que alguien no lo haya explorado ya».
Se da que la razón 1.325, la que nos da el rectángulo que crea la Espiral de Harris, es algo sobre lo que ya se ha escrito; se conoce como el número plástico; aún así Harris no pudo encontrar ninguna evidencia de dibujos previos de la espiral. De hecho, la razón, es un número irracional que empieza con 1.32472… y continúa para siempre. De hecho se trata de una constante matemática que es la única que da solución a: 
Otra de las motivaciones de Harriss era llevar la proporción áurea a una familia más amplia de lo que el llama «sistemas de proporción«.
Como Harriss menciona: «La proporción áurea es un rincón increíblemente bien explorado de una gran ciudad […] Quería dar indicaciones de otros lugares de esa ciudad»
Los sistemas de proporción de Harriss son rectángulos que pueden subdividirse solamente en cuadrados y rectángulos semejantes.
Tan sólo hay 3 posibilidades en las que un rectángulo puede dividirse bajo esta regla:
El primero (dividido en dos rectángulos semejantes) es la proporción de un folio A4 (o cualquier A) con una razón de √2.
El segundo (un cuadro y un rectángulo semejante) es e rectángulo áureo, y el tercero (dos cuadrados) es la forma de una pieza de dominó.
Hay 16 posibilidades de rectángulos que se pueden dividir en 3. Estas son 6 opciones en las que recortamos un cuadrado grande y ponemos los dos cuadrados / rectángulos en una columna. Recordad que en cada caso, si hay un mini rectángulo debe tener las mismas proporciones que el rectángulo del que se parte.
Y están las 4 opciones en las que los cuadrados / rectángulos están alineados:
L@s matemátic@s reconocen las razones que nos dan los sistemas de proporción de Harriss como «números algebraicos«, aquellos números que son soluciones de ecuaciones simples. Harriss opina que una aproximación geométrica a los números algebraicos puede llevar a un conocimiento mejor de los mismos.
«Las proporciones (razones) ya se pueden encontrar en las matemáticas y en el arte, lo que sugiere que los sistemas de proporción capturan alguna idea de simplicidad para estos números», menciona Harriss, añadiendo que está trabajando en demostrar que cualquier número algebraico es una proporción de un rectángulo que pertenece a un sistema de proporción.
En base a estas proporciones, Harris ha hecho algunas espirales más. Estas son con las que de momento ha topado:
Buen Domingo!! 🙂
Artículo Original: «The golden ratio has spawned a beautiful new curve: the Harriss spiral» en The Guardian
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