Cuando Las Matemáticas Nos La Juegan

Hoy me gustaría aprender cómo el Razonamiento es el Lenguaje de las Matemáticas. ¿Me acompañáis?

Existe un patrón interesante que involucra a los puntos de un círculo. Empecemos con un único punto en la circunferencia:

Ahora añadamos un segundo punto y unámoslos. Habremos dividido el círculo en dos regiones:

Añadamos un tercer punto y repitamos el proceso:

Ahora tenemos 4 regiones. ¿Alguna idea sobre qué es lo que pasará cuando añadamos un cuarto punto? Correcto! Tendremos 8 regiones:

¿Has detectado el patrón? Seguro. El número de regiones se dobla cada vez. Parece tener sentido. Si aún dudas de ello, veamos qué pasa con 5 puntos:

Excelente, tenemos las 16 regiones que esperábamos.

Por ahora sabes qué esperar para 6 puntos, el doble de 16; 32. ¿Eres una persona de apostar? ¿Cuanto te juegas a que el siguiente círculo tendrá 32 regiones? Aquí está, cuéntalas:

¿Lo has hecho dos veces? Yo también; no lo puedo creer tampoco. Creía que me había dejado de contar una, pero no; siempre salen 31. Tus ojos no te han traicionado. Pero por otro lado, tu razonamiento matemático…

¿Por qué esperábamos 32 regiones? Lo más seguro porque es el número que continuaba el patrón con el que hemos tropezado antes. Nuestras mentes están sintonizadas con patrones; los buscamos instintivamente. Cada círculo fortalecía nuestro sistema de creencia de modo exponencial.

Pero eso es todo, una creencia. No había ningún argumento riguroso, ninguna razón sólida por las que siempre las regiones se tuviesen que doblar. La belleza de las matemáticas reside en sus patrones. Pero allí también es dónde reside su peligro. La matemáticas son más que reconocimiento de patrones. También tratan sobre entender por qué esos patrones se mantienen.

Aquí es cuando el razonamiento entra en juego. Tan sólo podemos celebrar las irrefutables verdades de las matemáticas una vez hayamos pagado nuestras deudas y nos hayamos convencido, a través de una lógica perfecta, que lo son. Las matemáticas premiarán tu diligencia, pero te van a arruinar si abandonas la razón.

¿Hay otro patrón en lo referente a las regiones del círculo, uno que sea más difícil de describir que el simple hecho de doblar? Posiblemente; no te va a importar demasiado en este momento. A lo mejor tu orgullo ya ha quedado dañado. Pero si aún tienes curiosidad, querrás aventurarte a dibujar los subsiguientes círculos mientras desarrollas y pruebas nuevas hipótesis. A lo mejor un patrón más sutil está al acecho, al fin y al cabo.

Consideremos esto:

n² + n + 41

Esta expresión nos devuelve un número primo siempre y cuando n sea un entero no negativo. ¿No me crees? Pruébalo:

  • Si n=0, tenemos 41, primo, buen comienzo.
  • Si n=1, tenemos 43, primo.
  • Si n=2, tenemos 47, primo.

Parece prometedor. Tienes todo el derecho del mundo para ser escéptic@; después del tormento de las regiones de los círculos no esperaría menos. Y, si algo sabemos de los números primos es que son una especie misteriosa. No podemos dar una cantidad infinita de ellos tan fácilmente.

Pero, ¿cómo refutarás la afirmación? Tendrás que encontrar un contraejemplo; un número entero (n) para el que la expresión  + n + 41 no devuelva un primo. Si eliges la aproximación sistemática de ir probando un número tras otro, puedes pasarte un buen rato. De hecho, la expresión va a devolver número primos hasta que n=40.

Hubiésemos obtenido un contraejemplo si hubiésemos pensado un poco más en la expresión. ¿Puedes ver por qué no retornará un primo para n=41? Una de las razones es porqué todos los términos de la expresión serán divisibles por 41, lo que significa que el 41 es un factor de toda la expresión. En ese caso, es imposible que sea primo!

El método de fuerza bruta consistente en probar cada entero no tiene nada que ver con la elegancia de sacar el 41 de la expresión. El razonamiento es belleza.

El razonamiento está ganando más espacio en el currículum de las escuelas. A menudo se concibe con una materia auto contenida, separada de todas las demás. Una cosa extra que hacer los viernes, una vez se han cubierto todos los temas centrales. O alguna cosa para retar a esos estudiantes mas avanzados.

Aquí está la trampa: el razonamiento es el lenguaje de las matemáticas. Es cómo podemos estar seguros de cualquier cosa. El qué y el cómo en matemáticas son importantes, pero ninguno de los dos tiene sentido sin el por qué. La pregunta más importante que cualquier estudiante de matemáticas debería hacer es: ¿Por qué?

No hay nada que nos de más poder que ser capaces de justificar rigurosamente nuestros argumentos matemáticos. Te da la propiedad de ese conocimiento; ni siquiera el más fuerte de nosotros puede envidiar la lógica. El razonamiento tiene que estar cubierto en el aprendizaje y en la enseñanza de todo concepto.

Las matemáticas son la materia que siempre da. Pero si las damos por sentadas, nos van a llevar por mal camino. Nos mantendremos en el camino correcto y guiaremos a nuestros estudiantes hacia él, siempre que retengamos nuestro derecho a preguntar ¿por qué?

Buen Sábado!! 🙂


Artículo Original: “When maths screws you over” en Medium