La Espiral De Harriss, Otro Fruto De La Proporción Áurea

Hace bastantes días que no aprendemos nada sobre geometría sagrada. Hoy os propongo que conozcamos a un nuevo miembro de la familia de la Proporción Áurea: La Espiral De Harriss.

La Espiral de Harriss tiene ecos de arte Céltico pero se construye siguiendo un simple proceso de división de rectángulos.

A l@s matemátic@s les encanta aparecer con cosas nuevas. Un teorema, un lema o un colorario.

Edmund Harris ha descubierto una curva.

Edmund Harriss

Harriss es profesor de matemáticas en la Universidad de Arkansas. También es un artista cuya búsqueda intelectual empezó con una forma famosa que pertenece tanto a la ciencia como al arte, el rectángulo áureo:

El rectángulo áureo se divide en un cuadrado y en un rectángulo áureo más pequeño.

Un rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados siguen una proporción acorde con la proporción áurea, que es 1.618. En otras palabras, el lado largo es 1.618 veces el tamaño del lado corto.

Lo que es particularmente interesante del rectángulo áureo es que si dibujamos un cuadrado dentro, como se puede observar en la imagen anterior, la sección que queda (en azul) es un rectángulo áureo más pequeño.

Sigamos. Podemos dividir el rectángulo más pequeño en otro cuadrado y otro rectángulo áureo:

Cortando un rectángulo áureo.

Podemos llevar esta división hasta donde nos apetezca, siempre subdividiendo rectángulos. Y si dibujamos cuartos de círculos dentro de cada cuadrado tenemos una espiral. La imagen que sigue, es probablemente una de las imágenes más famosas de las matemáticas, cuando no de toda la ciencia. La curva se llama la Espiral Áurea:

Inspirado por la construcción clásica de la espiral áurea, Harriss empezó a jugar con el proceso de subdivisión de los rectángulos con la esperanza de ser capaz de generar otras curvas estéticamente placenteras.

Así que, más que empezar con un rectángulo y luego recortarle un cuadrado que deja un rectángulo similar, como hemos visto con el rectángulo áureo, hizo algo subversivo.

“En lugar de recortar un cuadrado, recorté un rectángulo”, afirma Harriss.

Encontró un rectángulo que se podría dividir en dos rectángulos semejantes y en un cuadrado como se ve en la imagen que sigue. El rectángulo azul y el rectángulo naranja tienen las mismas proporciones que el rectángulo mayor, una razón del 1.325.

Dado que tenemos dos de estos rectángulos podemos seguir con las divisiones:

Otra y otra y otra vez.Otra de regalo.

Finalmente el rectángulo original queda dividido en 34 rectángulos semejantes y 33 cuadrados.

¿Recordáis que para crear una espiral áurea añadimos cuartos de círculos en los cuadrados?, Harriss hizo lo mismo aquí:

Los círculos van de esquina a esquina de los cuadrados.

Vaya! Otra Espiral. Pero hay cuadrados que hemos dejado vacíos, rellenémoslos.

Las Espirales se ramifican en un patrón fractal.

Y ahora borremos el arco más grande, para conocer la “Espiral de Harriss”:

La Espiral de Harriss

La primera vez que Harriss vio la espiral estaba super excitado ya que era atractiva estéticamente. Uno de sus primeros objetivos era dibujar espirales ramificadas como las que podemos encontrar en el arte Islámico o en los trabajos de Gustav Klimt. Estaba particularmente satisfecho ya que llegó a la espiral usando un proceso matemático simple.

“El Árbol de la Vida”, Gustav Klimt

Harris comenta que: “No es tan difícil hacer algo que nadie haya visto antes […] Lo que es más difícil es hacer algo matemáticamente que satisfaga y que la gente no haya visto antes”.

Su primera preocupación fue que a lo mejor alguien ya hubiese dibujado la espiral. “Una cosa sobre los descubrimientos matemáticos y sobre el arte matemático es que, aunque el proceso sea completamente nuevo, no hay garantía que alguien no lo haya explorado ya”.

Se da que la razón 1.325, la que nos da el rectángulo que crea la Espiral de Harris, es algo sobre lo que ya se ha escrito; se conoce como el número plástico; aún así Harris no pudo encontrar ninguna evidencia de dibujos previos de la espiral. De hecho, la razón, es un número irracional que empieza con 1.32472… y continúa para siempre. De hecho se trata de una constante matemática que es la única que da solución a: x^{3}=x+1\,. Y que cuyo valor exacto es:

Valor Exacto del Número Plástico

Otra de las motivaciones de Harriss era llevar la proporción áurea a una familia más amplia de lo que el llama “sistemas de proporción“.

Como Harriss menciona: “La proporción áurea es un rincón increíblemente bien explorado de una gran ciudad […] Quería dar indicaciones de otros lugares de esa ciudad”

Los sistemas de proporción de Harriss son rectángulos que pueden subdividirse solamente en cuadrados y rectángulos semejantes.

Tan sólo hay 3 posibilidades en las que un rectángulo puede dividirse bajo esta regla:

El primero (dividido en dos rectángulos semejantes) es la proporción de un folio A4 (o cualquier A) con una razón de √2.

El segundo (un cuadro y un rectángulo semejante) es e rectángulo áureo, y el tercero (dos cuadrados) es la forma de una pieza de dominó.

Hay 16 posibilidades de rectángulos que se pueden dividir en 3. Estas son 6 opciones en las que recortamos un cuadrado grande y ponemos los dos cuadrados / rectángulos en una columna. Recordad que en cada caso, si hay un mini rectángulo debe tener las mismas proporciones que el rectángulo del que se parte.

Esta es la opción inversa, en la que recortamos un rectángulo semejante y ponemos dos cuadrados / rectángulos en una columna:

 

Y están las 4 opciones en las que los cuadrados / rectángulos están alineados:

L@s matemátic@s reconocen las razones que nos dan los sistemas de proporción de Harriss como “números algebraicos“, aquellos números que son soluciones de ecuaciones simples. Harriss opina que una aproximación geométrica a los números algebraicos puede llevar a un conocimiento mejor de los mismos.

“Las proporciones (razones) ya se pueden encontrar en las matemáticas y en el arte, lo que sugiere que los sistemas de proporción capturan alguna idea de simplicidad para estos números”, menciona Harriss, añadiendo que está trabajando en demostrar que cualquier número algebraico es una proporción de un rectángulo que pertenece a un sistema de proporción.

En base a estas proporciones, Harris ha hecho algunas espirales más. Estas son con las que de momento ha topado:

Buen Domingo!! 🙂


Artículo Original: “The golden ratio has spawned a beautiful new curve: the Harriss spiral” en The Guardian

Posiblemente El Mejor Rectángulo Del Mundo

Hoy me gustaría aprender un poco más sobre la serie de Geometría que estamos llevando a cabo con Josep María Alarcón.

Empezamos esta serie con un Brain Feeling que lo que precisamente hacía era desacreditar la proporción divina: ¿Es la proporción divina un mito?, mito o no; esta es una respuesta que, con Josep María, contestaremos. Nos brinda muchísimas cosas bellas. Una de ellas es el rectángulo áureo, posiblemente el mejor rectángulo del mundo.

Fue Johannes Kepler, el astrónomo del siglo XVII quien describió a la ‘proporción dorada’ como una ‘joya preciosa’. La proporción áurea es un número irracional cuya manifestación física prevalece en la naturaleza y ha sido empleada por artistas, arquitect@s y diseñador@s por su atracción estética.

Johannes Kepler

Como aprendimos en el Brain Feeling que mencionábamos arriba, se ha argumentado que la ocurrencia de la proporción en el mundo natural se ha exagerado, y que su ‘belleza’ se puede deber a su simplicidad. Esta corta animación explora la proporción a través de su manifestación más famosa: el rectángulo áureo, cuyo nombre responde a la pregunta de si algunas formas son más bellas inherentemente que otras.

 

Buen Jueves!! 🙂


Artículo Original: “Mirror, mirror, on the wall, which is the fairest rectangle of them all?” en Aeon

La Incansable Belleza De Las Matemáticas

Es domingo, el día en el que continuamos trabajando en la serie que llevamos a cabo junto a Josep María Alarcón en torno a la geometría y las matemáticas.

En el Brain Feeling de hoy aprenderemos 2 vídeos más sobre la belleza de las matemáticas y de los patrones. ¿Me acompañáis?

Los Copos de Nieve, Los Dados y Otras Matemáticas Diarias

La propiedades matemáticas están es todas las cosas que nos rodean, incluso si nuestras mentes tienden más a notar sus efectos que sus funciones. Es este vídeo mesmerizante, del estudio Parision Parachutes, podremos ver las matemáticas que se esconden tras nuestras vidas diarias (desde los patrones de los movimientos de las nubes hasta el código binario tras cualquiera de las webs que podamos visitar).

La Belleza Oculta de la Geometría, las Matemáticas de la Forma y del Patrón

En ‘El Estudio de las Matemáticas’, Bertrand Russell escribió: “Las matemáticas, bien vistas, no poseen tan sólo la verdad, sino la belleza suprema“. Esta es la idea que hay tras el corto Ars Qubica Cristóbal Vila creado por , animador 3D e ilustrador español.

Una experiencia fluida y sensorial que une la música, las matemáticas, el arte y el diseño. El vídeo deconstruye patrones y motivos del arte para revelar cómo la belleza emerge de ‘esqueletos geométricos’.

Simplemente alucinante.

 

Buen Domingo!! 🙂


Artículos Originales:

La Elegancia De Las Matemáticas y La Complejidad De La Naturaleza Se Encuentran

Siguiendo la serie de “Geometría Sagrada” que estamos desarrollando con Josep María Alarcón. Hoy me gustaría que aprendiésemos este bello vídeo, en el que se destaca la fuerte e intensa relación entre las matemáticas y la naturaleza.

Cuando el cineasta y diseñador gráfico español, Cristóbal Vila mira a la naturaleza, ve números y la recalcable elegancia de las matemáticas. Uniendo la música y la animación con las matemáticas, la obra Nature By Numbers, se hace un film de ciencia sensorial, una inmersión en el mundo de lo dimunuto y lo microscópico, y una introducción excitante a algunos de mejores conceptos científicos y geométricos. Bellísimo!!

Buen Domingo!! 🙂


Artículo Original: “The elegance of mathematics meets the breathtaking complexity of nature” en Aeon

La Danza del Triángulo y Del Cuadrado, obras de René Jodoin

Este es el último Brain Feeling de Febrero. Este mes hemos aprendido y hemos empezado a preparar el terreno para la serie de artículos sobre geometría que llevaremos a cabo con Josep María Alarcón. Lo hemos hecho siguiendo la seria de artículos abierta en Enero cómo:

Hoy me gustaría compartir con vosotr@s dos ‘ballets geométrico‘ brillantes, de sonido, forma y simetría alrededor de los 180º de un triángulo y de la danza de un cuadrado.

Como estamos aprendiendo en Feel The Brain, a lo largo de un poco más de la última década, la belleza inherente y la elegancia de las matemáticas se ha probado como un territorio fértil para l@s artistas, que se han fijado en ellas, mentes exigentes y magia en la pantalla. Pero como dice a vieja dicha y queda demostrado con este corto de 1966, no hay nada que no se haya inventado.

Se trata de unas producciónes clásicas del National Film Board de Canadá. Podremos observar conjuntos de hasta 300 transformaciones, divisiones y subdivisiones de un triángulo a ritmo de un vals de piano, y de la danza mesmerizante de un cuadrado, cuya experiencia de visualización aún nos encanta después de 50 años.

Dirigido por René Jodoin, el triángulo y el cuadrado se conviertes en los bailarines principales de un ballet geométrico.

René Jodoin

René Jodoin

René tiene otras producciones, como Danza Cuadrada (que podemos ver a continuación) de 1961 y algunas otras colaboraciones con Norman McLaren.

…una cosa más!! 🙂

Si os ha gustado, también os gustará el Brain Feeling:

Radicales Libres en el Whitney Museum of American Art

Buen Martes!! 🙂


Artículo Original: “A brilliant ‘geometric ballet’ of sound, shape and symmetry on the theme of 180°” en Aeon

Si os interesa adquirir las obras lo podéis hacer en National Film Board de Canadá

Las Matemáticas De Las Ilusiones De Acera, La Anamorfosis

Seguramente, más de una vez os habréis cruzado con esas imágenes, esas obras de arte, pintadas en las aceras y en las calzadas que provocan una sensación de 3 Dimensiones. Se les llama “Ilusiones de Acera” (Sidewalk Ilusions).

En el Brain Feeling de hoy me gustaría aprender cuál es la matemática que se esconde tras esas brillantes ilusiones. Lo haremos de mano de una TED Lesson (subtitulada al castellano) de Fimuko Futamura. Y, para activar los recuerdos de qué son esas imágenes, contemplaremos algunas obras de los 5 mejores artistas de esta disciplina.

¿Te has cruzado alguna vez con una imagen muy alargada en la acera, para darte cuenta que parece notoriamente realista si te pones justo en el punto correcto para observarla? Estas ‘ilusiones de acera’ usan una técnica llamada anamorfosis (un caso especial de perspectiva en que l@s artistas representan vistas en 3D sobre superficies 2D). ¿Cómo se hace? Aprendamos de mano de Fumko Futamura la historia y las matemáticas de la perspectiva.

Artistas de Ilusiones de Acera

Edgar Mueller

Edad de Hielo

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Cascada

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Paseo de Lava

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Caverna Misteriosa

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Eduardo Rolero

Grandes Chorizos

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Insensatez

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El Gran Gurú

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Un Mundo Por Delante

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Durango1937

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Ilusiones Rotas

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Julian Beever

DHL

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Coca Cola

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Balleantine’s

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Pequeño Accidente En La Construcción

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Daily Mail

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Piscina

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Rafting en Río Blanco

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Autorretrato

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Manfred Stader

3D

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Star Mild

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Costa

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Grant’s

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Smart

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Jinro

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Kurt Wenner

Gigante

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Dies Irae

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Smoothie Ad

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Beowulf

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Phaeton

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Party Poker Ad

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Cada vez me sorprende más hasta dónde podemos llegar exprimiendo nuestra máquina más compleja; y es que, como todo en la vida, todo es cuestión de perspectiva.

Buen Martes!! 🙂


Artículos Originales:

Las Matemáticas Son El Secreto Para Entender El Mundo

Si hubiese sido tan afortunado de asistir presencialmente a la charla TED que quiero aprender hoy con vosotr@s, me hubiese puesto de pie a su fin para aplaudir-la. Creedme es simplemente fabulosa.

En ella aprenderemos cómo las matemáticas son el secreto para entender el mundo. Pero sin filosofía alguna. Tan sólo a base de demostraciones que todo pasa por saber cambiar nuestra perspectiva.

Y es esta la razón por la que este Brain Feeling es la segunda entrega de la serie que empezamos el domingo (¿Es la proporción áurea un mito?) sobre la Geometría y que iremos desplegando junto a Josep María Alarcón.

De manos de Roger Antonsen, se nos desvelarán los misterios y los recovecos de cómo funciona el mundo a través de unas de las formas de arte más imaginativa que nunca el ser humano ha creado, las matemáticas y la informática dos de las ciencias que requieren de más creatividad. De su mano recorreremos un camino en el que aprenderemos cómo un pequeño cambio en la perspectiva puede desvelar patrones, números y fórmulas como puertas a la empatía y el entendimiento.

Escritos de Leibniz

Escritos de Leibniz

Un camino con diversas estaciones:

  1. Encontrar patrones, conexiones, estructuras y regularidades.
  2. Representar esos patrones mediante un lenguaje, aunque para ello tengamos que inventar uno nuevo.
  3. Hacer asunciones y suposiciones y jugar con ellas.
  4. Finalmente, hacer cosas geniales; sin más.

Y con un destino claro:

  1. Usar la imaginación.
  2. Cambiar la perspectiva.
  3. Llegar a la empatía (ver el mundo desde la perspectiva de l@s demás, cosa que requiere mucha imaginación y uso de metáforas)
  4. Ser más flexibles.
  5. Llegar al entendimiento.

Simplemente genial. Sin discusión. ¿Me acompañáis? (está subtitulada al castellano 🙂 )

La Transcripción de la Charla

Como es de costumbre he aquí la transcripción completa de la charla:

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Hola. Quiero hablarles del entendimiento, y de la naturaleza del entendimiento, y de la esencia del entendimiento, porque todos tratamos de entender algo. Queremos entender las cosas. Para mí, el entendimiento tiene que ver con la capacidad de cambiar de perspectiva. Si uno carece de eso, no tiene entendimiento. Eso es lo que sostengo. Y quiero hacer hincapié en las matemáticas. Muchos pensamos las matemáticas como sumas, restas, multiplicación, división, fracciones, porcentajes, geometría, álgebra, todo eso. Pero quiero hablar de la esencia de las matemáticas, también. Para mí, las matemáticas tienen que ver con patrones. Detrás de mí, ven un hermoso patrón, y este patrón surge de dibujar círculos de una manera muy particular. Por eso mi definición cotidiana de matemáticas, la que uso a diario, es la siguiente: Ante todo, se trata de encontrar patrones. Y por “patrón” digo una conexión, una estructura, alguna regularidad, algunas reglas que gobiernan lo que vemos. Luego, pienso que se trata de representar estos patrones con un lenguaje. Inventamos lenguaje si no lo tenemos y, en matemática, esto es esencial. También tiene que ver con suponer cosas y jugar con esas suposiciones y ver qué pasa. Muy pronto vamos a hacer eso. Y, finalmente, se trata de hacer cosas geniales. Las matemáticas nos permiten hacer muchísimas cosas. Veamos estos patrones. Si uno quiere atar el nudo de una corbata, hay patrones. Los nudos tienen nombres. Y existe una matemática de los nudos de corbata. Este nudo es izquierda-afuera, derecha-adentro, centro-afuera. Este nudo es izquierda-adentro, derecha- afuera, izquierda-adentro, centro-afuera. Este es el lenguaje que inventamos para los patrones de nudos. Y un medio Windsor es todo eso. Este es un libro de matemáticas sobre nudos de zapatos a nivel universitario, porque hay patrones en los nudos de zapato. Pueden hacerlo de muchas maneras diferentes. Podemos analizarlo. Podemos inventar lenguajes para eso. Y hay representaciones en toda la matemática. Esta es la notación de Leibniz de 1675. Él inventó un lenguaje para los patrones de la naturaleza. Cuando arrojamos algo al aire, cae. ¿Por qué? No estamos seguros, pero podemos representarlo en un patrón matemático. Esto también es un patrón. También es un lenguaje inventado.¿Adivinan para qué? Es un sistema de notación para baile, para bailar tap. Eso le permite a él como coreógrafo hacer cosas geniales, nuevas cosas, porque las ha representado. Quiero que piensen en lo asombroso que es representar algo. Aquí dice la palabra “matemáticas”. Pero en realidad son solo puntos, ¿no? ¿Cómo es posible que estos puntos representen la palabra? Bueno, lo hacen.Representan la palabra “matemáticas”, y estos símbolos también representan esa palabra y podemos escucharlo. Suena así. (Pitidos) De alguna manera estos sonidos representan la palabra y el concepto.¿Cómo sucede eso? Hay algo increíble que ocurre al representar cosas. Por eso quiero hablarles de la magia que sucede cuando representamos algo. Aquí vemos líneas con diferentes anchos. Representan números de un libro particular. Y recomiendo este libro, es un libro muy bonito. (Risas) Créanme. Bien, hagamos un experimento, para jugar con algunas líneas rectas. Esta es una línea recta. Hagamos otra.En cada movimiento, movemos uno abajo y uno a través, y dibujamos una nueva línea recta, ¿sí?Hacemos esto una y otra y otra vez, y buscamos patrones. Y surge este patrón, es un patrón bastante lindo. Parece una curva, ¿verdad? Solo con dibujar líneas rectas simples. Ahora puedo cambiar de perspectiva un poquito. Puedo rotarlo. Vean la curva. ¿A qué se parece? ¿Es parte de un círculo? En realidad no es parte de un círculo. Tengo que seguir investigando y buscar el patrón verdadero. ¿Quizá si lo copio y hago arte? Bueno, no. Quizá debería extender las líneas así, y buscar el patrón allí.Hagamos más líneas. Hacemos esto. Alejémonos y cambiemos de perspectiva otra vez. Luego, podemos ver que lo que empezamos solo con líneas rectas es en realidad un curva llamada parábola.Esto se representa con una ecuación simple, y es un patrón hermoso. Estas son las cosas que hacemos. Encontramos patrones y los representamos. Y pienso que esta es una linda definición del día a día. Pero hoy quiero profundizar un poco más, y pensar en la naturaleza de esto. ¿Qué lo hace posible? Hay algo un poco más profundo, y es la capacidad que tenemos de cambiar de perspectiva. Y sostengo que cuando uno cambia de perspectiva, al adoptar otro punto de vista, uno aprende algo nuevo sobre lo que está viendo, mirando o escuchando. Y pienso que eso es algo muy importante que hacemos todo el tiempo. Miremos esta ecuación simple, x + x = 2 • x. Es un patrón muy hermoso, y es verdadero, porque 5 + 5 = 2 • 5, etc. Lo hemos visto una y otra vez, y lo representamos así. Pero piénsenlo: esta es una ecuación. Dice que una cosa es igual a otra cosa, desde dos perspectivas diferentes. Una perspectiva es la suma. Es algo que uno adiciona. Por otro lado, está la multiplicación,son dos perspectivas diferentes. E iría más lejos y diría que toda ecuación como esta, toda ecuación matemática que use el signo de igual es una metáfora. Es una analogía entre dos cosas. Uno ve dos cosas y adopta dos puntos de vista diferentes, y lo expresa en un lenguaje. Vean esta ecuación. Es una de las ecuaciones más hermosas. Simplemente dice que, bien, dos cosas, ambas son -1. Esto de la izquierda es -1, y la otra parte también. Y esa, pienso, es una de las partes esenciales de las matemáticas; adoptar puntos de vista diferentes. Juguemos un poco. Tomemos un número. Conocemos los cuatro tercios. Sabemos lo que son cuatro tercios. Es 1,333 pero tenemos que colocar esos tres puntos, de lo contrario no es exactamente cuatro tercios. Pero esto es solo en base 10. En el sistema numérico usamos 10 dígitos. Si cambiamos eso y usamos dos dígitos, eso se llama sistema binario. Se escribe así. Ahora hablamos del número. El número es cuatro tercios. Podemos escribirlo así, y podemos cambiar la base, cambiar la cantidad de dígitos, y escribirlo de manera diferente. Son todas representaciones del mismo número. Podemos escribirlo simplemente como 1,3 o 1,6. Todo depende de cuántos dígitos haya. O quizá podemos escribirlo simplemente así. Me gusta este, porque dice que es cuatro dividido tres. Y este número expresa una relación entre dos números. Uno tiene cuatro por un lado y tres por el otro. Y se puede visualizar esto de muchas maneras. Ahora veo ese número desde diferentes perspectivas. Estoy jugando. Estoy jugando con la manera de ver algo, y lo hago muy deliberadamente. Podemos tomar una grilla. Si tiene 4 de ancho y 3 de alto, esta línea es igual a 5, siempre. Tiene que ser así. Este es un patrón hermoso. Cuatro y tres y cinco. Y este rectángulo, que es 4 x 3, lo habrán visto muchas veces. Es la pantalla de computadora promedio. 800 x 600 o 1600 x 1200 es una pantalla de TV o computadora. Son todas lindas representaciones, pero quisiera ir un poquito más lejos y jugar un poco más con este número. Aquí ven dos círculos. Los voy a rotar de este modo.Observen la parte superior izquierda. Va un poco más rápido, ¿verdad? Pueden verlo. En realidad va exactamente cuatro tercios más rápido. Eso significa que cuando pasa cuatro veces, la otra pasa tres veces. Ahora hagamos dos líneas, y dibujemos este punto donde las líneas se encuentran. Tenemos este punto danzante. (Risas) Y este punto viene de ese número. ¿Sí? Ahora deberíamos rastrearlo.Rastrémoslo y veamos qué pasa. De eso se tratan las matemáticas. De ver qué pasa. Y eso surge de los cuatro tercios. Me gusta decir que esta es la imagen de los cuatro tercios. Es mucho mejor… (Ovación)¡Gracias! (Aplausos) Esto no es nuevo. Esto se conoce desde hace mucho, pero… (Risas) Pero esto son cuatro tercios. Hagamos otro experimento. Tomemos un sonido, este sonido: (Pitido) Es un perfecto do, 440Hz. Multipliquemos por dos. Tenemos este sonido. (Pitido) Tocadas juntas suenan así. Esto es una octava, ¿verdad? Podemos hacer este juego. Tocamos el sonido, tocamos el mismo do. Multiplicamos por tres mitades. (Pitido) Esto es lo que llamo un quinto perfecto. (Pitido) Suenan muy bien juntos.Multipliquemos este sonido por cuatro tercios. (Pitido) ¿Qué sucede? Obtienen este sonido. (Pitido) Este es el cuarto perfecto. Si el primero es do, este es fa. Suenan así juntas. (Pitidos) Este es el sonido de los cuatro tercios. Ahora estoy cambiando de perspectiva. Estoy viendo un número desde otra perspectiva.Puedo hacer esto con ritmos, ¿verdad? Puedo tomar un ritmo y tocar tres tiempos a la vez (Tambor) en un período de tiempo, y puedo tocar otro sonido cuatro veces en ese mismo espacio. (Sonido metálico)Suena un poco aburrido, pero escúchenlos juntos. (Tambores y sonido metálico) (Risas) ¡Oye! Casi.(Risas) Incluso puedo hacer un pequeño hi hat. (Tambores y platillos) ¿Pueden oír esto? Este es el sonido de los cuatro tercios. De nuevo, esto es un ritmo. (Tambores y cencerro) Y puedo seguir con esto y jugar con este número. Los cuatro tercios son un gran número. ¡Me encantan los cuatro tercios! (Risas)De verdad, es un número infravalorado. Si toman una esfera y miran el volumen de la esfera, son cuatro tercios de un cilindro particular. Los cuatro tercios están en la esfera. Es el volumen de la esfera. Pero, ¿por qué hago todo esto? Bueno, quiero hablar de lo que significa entender algo y lo que queremos decir por entender algo. Ese es mi objetivo aquí. Mi idea es que uno entiende algo si puede verlo desde diferentes perspectivas. Veamos esta letra. Es una hermosa R, ¿no? ¿Cómo lo saben? Bueno, de hecho, han visto muchas eRes, y han generalizado y las sintetizaron todas en un patrón. Saben que esto es una R. Mi intención aquí es decir algo sobre la relación entre entender algo y cambiar de perspectiva. Soy profesor y doy conferencias, y puedo usar esto para enseñar algo, porque cuando le doy a alguien otra historia, una metáfora, una analogía, si cuento una historia desde un punto de vista diferente, facilito el entendimiento. Hago posible el entendimiento, porque Uds. tienen que generalizar sobre lo que vieron y oyeron, y si les doy otra perspectiva, eso les resultará fácil. Hagamos otro ejemplo simple. Esto es cuatro y tres. Son cuatro triángulos. Son cuatro tercios, en cierta forma. Unámoslos. Ahora vamos a jugar un juego; los vamos a plegar en una estructura tridimensional. Me encanta. Esta es una pirámide cuadrada. Tomemos dos y juntémoslas. Esto es lo que se llama un octaedro. Es uno de los cinco sólidos de Platón. Ahora podemos literalmente cambiar de perspectiva, porque podemos rotarlo en todos sus ejes y verlo desde diferentes perspectivas. Y puedo cambiar el eje, y verlo desde otro punto de vista,pero es la misma cosa, pero parece un poco diferente. Puedo hacerlo incluso otra vez más. Cada vez que lo hago aparece algo más, así que estoy aprendiendo algo más sobre el objeto cuando cambio la perspectiva. Puedo usar esto como una herramienta para crear entendimiento. Puedo tomar dos de estos y ponerlos juntos así y ver qué pasa. Y se parece un poco al octaedro. Miren si lo giro así. ¿Qué pasa? Bueno, si toman dos de estos, los juntan y los giran, se forma un octaedro otra vez, una estructura hermosa. Si lo aplanan sobre el suelo, es un octaedro. Es la estructura de grafo de un octaedro. Y puedo seguir haciendo esto. Pueden dibujar tres grandes círculos alrededor del octaedro, y rotarlo, así, tres grandes círculos se relacionan al octaedro. Y si tomo una bomba de bicicleta y le inyecto aire, pueden ver que esto también tiene forma de octaedro. ¿Ven lo que estoy haciendo aquí?Cambio de perspectiva cada vez. Ahora volvamos un paso atrás, retrocediendo, esto es una metáfora,veamos lo que estamos haciendo. Estoy jugando con metáforas. Estoy jugando con perspectivas y analogías. Estoy contando una historia de diferentes maneras. Estoy contando historias. Estoy creando una narrativa; estoy creando varias narrativas. Y pienso que todas estas cosas hacen posible el entendimiento. Pienso que esta es la esencia de entender algo. Realmente creo eso. Cambiar de perspectiva es algo fundamental para los humanos. Juguemos con la Tierra. Acerquémonos al océano, miremos el océano. Podemos hacer esto con cualquier cosa. Podemos observar de cerca el océano.Podemos mirar las olas. Podemos ir a la playa. Podemos ver el océano desde otra perspectiva. Cada vez que lo hacemos, aprendemos un poco más sobre el océano. Si vamos a la costa, podemos olerla, ¿cierto? Podemos oír el sonido de las olas. Podemos sentir la sal en la lengua. Todas esas son diferentes perspectivas. Y esta es la mejor. Podemos entrar al agua. Podemos ver el agua desde dentro.¿Y saben qué? Esto es absolutamente esencial en matemáticas e informática. Si uno puede ver una estructura desde dentro, entonces realmente aprende algo de ella. Es como la esencia de algo. Por eso cuando lo hacemos, cuando hacemos el viaje al océano, usamos la imaginación. Y creo que este es un nivel más profundo, y es realmente un requisito para cambiar de perspectiva. Podemos hacer un jueguito. Pueden imaginar que están aquí sentados. Pueden imaginar que están aquí, que están sentados aquí. Pueden verse desde afuera. Eso es algo muy extraño. Están cambiando de perspectiva.Están usando la imaginación, y se ven desde fuera. Eso requiere imaginación. Las matemáticas y la informática son las formas de arte más imaginativas. Y esto de cambiar de perspectiva debería sonarles un poco familiar, porque lo hacemos a diario. Se llama empatía. Cuando veo el mundo desde tu perspectiva, siento empatía por ti. Si verdaderamente entiendo cómo ves el mundo desde tu perspectiva, siento empatía. Eso requiere imaginación. Y así entendemos las cosas. Esto sobrevuela las matemáticas, y sobrevuela la informática, y existe una conexión muy profunda entre la empatía y estas ciencias. Por eso mi conclusión es la siguiente: entender algo cabalmente tiene que ver con la capacidad de cambiar de perspectiva. Por eso mi consejo para Uds. es: traten de cambiar de perspectiva. Pueden estudiar matemáticas. Es una manera maravillosa de entrenar el cerebro. Cambiar de perspectiva hace que la mente sea más flexible. Hace que se abran a nuevas cosas, y les permite entender las cosas. Y para usar otra metáfora: tengan una mente como el agua. Eso es bueno. Gracias.(Aplausos)

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Buen Miercoles!! 🙂


Artículo Original: “Roger Antonsen: Math is the hidden secret to understanding the world” en TED

¿Es La Proporción Áurea Un Mito?, Sunday Feeling

Este es un Brain Feeling de Arte.

Este es un Brain Feeling de Arquitectura.

Este es un Brain Feeling de Naturaleza.

Este es un Brain Feeling de Diseño.

Este es un Brain Feeling de Geometría.

Este es un Brain Feeling de Matemáticas.

¿Cómo se relaciona el arte, la arquitectura, la naturaleza, el diseño, la geometría y las matemáticas? La respuesta es múltiple, pero me gustaría aprender sobre un punto en concreto. Sobre la Geometría Sagrada.

Much@s de nosotr@s hemos oído hablar de la proporción áurea, del número de oro, del número pi; pero pocos hemos ido más allá. A simple vista cabe reconocer que el término “Geometría Sagrada” suena un tanto esotérico, como si se tratase de un conjunto de reglas y normas que nos han venido impuestas por ‘un@ creador@’.

Según la definición de Wikipedia del término: “El término Geometría Sagrada hace referencia al conjunto de formas geométricas que se encuentran presentes en el diseño de ciertos sitios considerados sagrados, principalmente iglesias, catedrales y mezquitas, junto con los significados simbólicos y esotéricos que se les atribuyen basándose en sus propiedades” de ahí el adjetivo ‘sagrada’; del hecho que se usaron esos conocimientos matemáticos y geométricos para construir todas esas obras.

Geometría Sagrada

Geometría Sagrada

Este es el primer Brain Feeling de una serie que desarrollaremos juntos con el Pintor Josep María Alarcón (que ya conocimos en el Brain Feeling: Genios: Josep María Alarcón); quien aplica de forma consciente y deliberada todos estos conocimientos en sus obras y en los que aprenderemos más allá de la simple definición del término.

Hoy, para empezar la serie aprenderemos el cuerpo textual de un artículo que afirma que la proporción áurea es el mito más grande del diseño y el porqué ésta no tiene sentido alguno en él. A priori se contradice con todo lo que vamos a aprender sobre geometría sagrada; pero siempre es bueno conocer otras opiniones 🙂 . Ademàs un poco de música sorprendente que nos muestra cómo suena la Proporción Área.

¿Me acompañáis?

Antes de Empezar… ¿Qué es el número de oro? ¿Qué es la proporción áurea?

El número áureo (también llamado número de ororazón extrema y mediarazón áurearazón doradamedia áureaproporción áurea y divina proporción) es un número irracional (mal expresado: tiene infinitos decimales sin periodo alguno), representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. Así es cómo se calcula este número que nos da la medida de una proporción:

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Phidias

Phidias

Esta es simple y objetivamente la definición del número áureo. De la proporción divina. Pero está por todos lados, en la naturaleza, en la arquitectura, incluso en los paquetes de tabaco y en nuestros carnets y tarjetas de crédito.

Para conocerlo mejor, he aquí Φ con muchos de sus decimales:

Φ : haced click sobre la imagen para agrandarla.

Φ : haced click sobre la imagen para agrandarla.

La Proporción Áurea: El Mito Más Grande Del Diseño

En el mundo del arte, de la arquitectura y del diseño la proporción áurea ha ganado una tremenda reputación. Genios como Le Corbusier y Salvador Dalí han usado el número en sus trabajos. El Partenón de Grecia, las Pirámides de Giza, las pinturas de Miguel Ángel, la Mona Lisa, incluso el Logo de ; de todas se dice que lo incorporan.

Según el artículo original, eso son sandeces. La estética de la proporción divina es una leyenda urbana, un mito y unicornio del diseño. Much@s diseñador@s no lo usan, y si lo hacen le sacan toda la importancia. También se menciona que no hay ninguna ciencia que lo respalde. Es@s que creen que la proporción divina es la matemática escondida tras la belleza están cayendo en una trampa que tiene más de 150 años.

La Proporción Áurea en el Partenón de Grecia

La Proporción Áurea en el Partenón de Grecia

Fue Euclides el primero en describir la proporción en Elementoshace ya más de 2300 años cómo: dos elementos se hallan en proporción áurea si su proporción es la misma que la proporción de la suma de las dos cantidades.

'Los Elementos' de Euclides

‘Los Elementos’ de Euclides

El valor de la proporción se acorta a 1,6180. La aplicación más habitual de la proporción es el rectángulo áureo, que puede ser dividido en cuadrados perfectos y en otro rectángulo que tiene la misma proporción que el rectángulo original. Podemos aplicar esta teoría a un gran número de objetos, dividiéndolos en más pequeños.

Rectángulo Áureo

Rectángulo Áureo

En lenguaje llano: si tienes dos objetos (o un único objeto que se pueda dividir en dos objetos, como el rectángulo áureo) y si, luego de llevar a cabo todos los cálculos que hemos estado aprendiendo hasta este punto, llegas al número 1,6180; se acepta que aquel objeto está en proporción áurea. Pero he aquí un problema. Como hemos visto, si hacemos los cálculos, no deberemos llegar al 1,6180, sino al número infinito de decimales de la proporción.

Según Keith Devlin, profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford: Si somos estrictos es imposible que nada en el mundo real tenga la proporción divina, dado que ésta es un número irracional“. Podemos acercarnos con otras relaciones de aspecto. La pantalla del iPad (3:2) o una pantalla de TV HD (16:9), todas flotan alrededor de ella. Pero la proporción divina es como el número pi. Así como es imposible encontrar un círculo perfecto en el mundo real, no vamos a poder aplicar estrictamente la proporción divina a un objeto. Siempre vamos a quedarnos cort@s.

Algunos de los decimales de Pi

Algunos de los decimales de Pi

La Proporción Áurea Como Efecto Mozart

Sí, es muy pedante. ¿No es 1,6180 una aproximación lo bastante buena? Probablemente, si es que hubiera alguna teoría científica que soportase la idea que la proporción divina tiene algo que ver con que encontremos estéticamente placenteros algunos objetos como el Partenón o la Mona Lisa.

La Proporción Áurea y La Mona Lisa

La Proporción Áurea y La Mona Lisa

Pero no la hay. Devlin afirma que la idea que la proporción áurea tenga alguna relación con la estética proviene principalmente de dos personas, una a la que se entendió mal y de otra que no sabía lo que se decía. (un poco duro,¿no?)

El primero fue Luca Pacioli, un fraile Franciscanos que escribió un libro llamado De Divina Proportione” en 1509, que más tarde se llamó la proporción áurea. En su libro, Pacioli, no abogaba por una teoría de la estética basada en la proporción y cómo debía aplicarse ésta al arte, arquitectura y diseño; en lugar de ello ligaba el sistema Vitruviano de proporciones racionales, del Arquitecto Romano, Vitruvio.

De Divina Proportione

De Divina Proportione

Luca Pacioli

Luca Pacioli

La visión de la proporción Áurea se atribuyó erróneamente a Pacioli en 1799, de acuerdo con Mario Livio, la persona que literalmente escribió el libro sobre la proporción divina. Pero Pacioli era amigo íntimo de Leonardo Da Vinci cuyos trabajos habían resurgido en el siglo XIX. Dado que Da Vinci había ilustrado “De Divina Proportione”, se empezó a decir que él mismo aplicaba la proporción como las matemáticas secretas tras sus exquisitas obras.

Un firme creyente de esta teoría era Adolf Zeising. Devlin ríe al decir: “este el tío al que querrías echarle toda la culpa sobre la reputación de la proporción divina”. Zeising era un psicólogo alemán que mantenía que la proporción áurea era una ley universal que describía la belleza y complitud en los reinos de la naturaleza y del arte,…. que penetra como la idea primordial epiritual, en todas las estructuras, formas y proporciones, ya sean cósmicas o individuales, orgánicas o inorgánicas, acústicas u ópticas.

Adolf Zeising

Adolf Zeising

Era un señor con mucha labia. El único problema con Zeising era que veía patrones dónde no los había. Por ejemplo, afirmó, que la proporción divina se podía aplicar al cuerpo humano partiendo de la altura de una persona y después dividiéndola. Según Devlin, tan sólo son partes arbitrarias del cuerpo humano puestas en una fórmula: al medir algo tan complejo como el cuerpo humano, es fácil encontrar ejemplos de proporciones que estén cerca del 1.6

Imágen del Estudio de Zeising

Imágen del Estudio de Zeising

Pero no importaba. Las teorías de Zeising se hicieron muy populares, fue el equivalente del siglo XIX al efecto Mozart, menciona Devlin evocando a la creencia que escuchar música clásica aumenta nuestra inteligencia. Y nunca se fue del todo. En el siglo XX, Le Corbusier basó su sistema Modulor sobre las proporciones antropomórficas en la proporción divina.

Sistema Modulor de Le Corbusier

Sistema Modulor de Le Corbusier

Salvador Dalí pintó su obra maestra, “El Sacramento de la Última Cena” en un lienzo con forma de rectángulo dorado.

"El Sacramento de la Última Cena", 1955, Salvador Dalí

“El Sacramento de la Última Cena”, 1955, Salvador Dalí

Mientras, tod@s l@s historiador@s del arte han intentado ir marcha atrás en lo que se refiere a los grandes diseños de la historia, con el fin de aplicar retroactivamente la proporción divina a Stonehenge, Rembrandt, Seuart, y la Catedral de Chatres. Desde entonces la relación entre la proporción áurea y la belleza ha sido un embuste del mundo del arte, de la arquitectura y del diseño.

Realmente No Preferimos La Proporción Divina

En el mundo real, no necesariamente la gente prefiere la proporción divina.

Como parte de un ejercicio aún por publicar en Stanford, Devlin explica que ha trabajado con el departamento de psicología de la universidad preguntando a cientos de estudiantes durante muchos años cuál es su rectángulo favorito. Les muestra una colección de rectángulos para luego pedirles cuál es su favorito. Si hubiera algo de verdad (según Devlin) tras la idea que la proporción áurea es la clave hacia la estética bella, l@s estudiantes elegirían el rectángulo que estuviese más cerca de ser un rectángulo dorado. Pero no lo hacen. A priori parece que escogen aleatoriamente. Y si les pides que repitan la experiencia, escogen rectángulo diferente. “Es un modo  muy útil de mostrar a l@s estudiantes de psicología la complejidad de la percepción humana”, afirma Devlin. Y no muestra que la proporción divina sea más placentera (estéticamente) para las personas.

Los experimentos de Devlin no son los únicos que demuestran que las personas no tenemos preferencia para la proporción divina. Un estudio de la Escuela de Negocios Haas de Berkeley demostró que, de media, l@s consumidor@s prefieren rectángulos que se hallen entre los rangos de 1,414 y 1,732. El rango incluye el rectángulo áureo, pero sus dimensiones exactas no son claramente las favoritas.

Much@s De L@s Diseñador@s De Hoy No Le Ven Utilidad

L@s diseñador@s con los que l@s autores del artículo original han hablado, no le ven utilidad alguna a la divina proporción.

Richard Meier, el legendario arquitecto tras el Getty Center y Museo de Arte Contemporáneo de Barcelona, admite que al empezar su carrera, tenia un triángulo de arquitecto que presentaba la proporción, pero que nunca ha diseñado sus edificios con la proporción en mente.

Triángulo para Medir la Proporción Áurea

Triángulo para Medir la Proporción Áurea

“Hay muchos otros números y formas a tener en mente a la hora de diseñar un edificio”, como fórmulas que calculan el máximo de grandes que los espacios pueden ser, o aquellas que determinan la carga máxima.

Richard Meier

Richard Meier

Alisa Andrasek, la diseñadora tras Biothing, un repositorio online de diseños por ordenador, está totalmente de acuerdo. “En mi propio trabajo, no recuerdo haber usado nunca la proporción áurea […] puedo imaginar incluirla en otros sistemas como una especia adicional pero me cuesta mucho imaginar que dirija la totalidad de un diseño como lo hacía históricamente, es demasiado simple”.

Alisa Andrasek

Alisa Andrasek

Giorgia Lupi de Accurat, la firma italiana de diseño e innovación, afirma que, como mucho la proporción divina tiene importancia para l@s diseñador@s como cualquier otra regla de composición como sería la regla de los tercios: una fina regla de pulgar, pero una que l@s diseñador@s se sentirían libres de rechazar. “A la práctica, no conozco cuántos diseñador@s utilizan la proporción áurea deliberadamente […] personalmente nunca la he usado en mis proyectos ni nunca he trabajado con ella”.

La Regla de Los Tercios

La Regla de Los Tercios

El entrevistado que quizá mostró más simpatía hacia la proporción Áurea fue Yves Béhar de Fuseproject. A veces miro hacia la proporción divina cuando observo los productos y los gráficos que creamos pero es más para información que un dogma“. Incluso en este caso, nunca aplica a sus diseños la proporción divina, es importante como herramienta, pero no una regla“.

Yves Béhar

Yves Béhar

Incluso diseñador@s que también son matemátic@s son escépticos sobre el uso de la proporción áurea en el diseño. Edmund Harriss es un profesor asistente de la Universidad de Arkansas (departamento de matemáticas) que usa muchas fórmulas (como los fractales -los trataremos en nuevos Brain Feelings-) para generar nuevos trabajos de arte. De nuevo Harriss es de la opinió que, como mucho, la proporción áurea es una de las tantas herramientas matemáticas que usan l@s diseñador@s. Es un número simple en muchos aspectos, y como resultado de ello aparece en una vasta cantidad de lugares […] [Pero] definitivamente no es la fórmula universal tras la belleza estética

Trabajos de Edmund Harris, con fórmulas matemáticas y la proporción áurea.

Trabajos de Edmund Harris, con fórmulas matemáticas y la proporción áurea.

¿Por Qué Persiste El Mito?

Devlin dice que es simple. Somos criaturas que estamos programadas genéticamente para ver patrones y encontrar significados“, afirma; recordemos el Brain Feeling sobre la Pareidolia y el Test de Rorschach. No está en nuestro ADN el sentirnos cómod@s con cosas tan arbitrarias como la estética, de modo que intentamos enjaularlas en cosas como las matemáticas.

Pero muchas son las personas que no entienden las matemáticas o el modo en cómo una fórmula tan simple como la proporción áurea se aplica a un sistema más complejo, de modo que no podemos testearnos nosotr@s mism@s. La gente piensa que la proporción divina está alrededor de ell@s, en los objetos de la naturaleza y en las cosas que aman, pero no lo pueden demostrar […] Son víctimas de su deseo natural de encontrar significado al patrón del universo, sin las aptitudes matemáticas para poder decir que los patrones que perciben son ilusiones“.

Si ves la proporción divina en tus diseños favoritos es que ves cosas.

Conclusión de Feel The Brain

Todas estas opiniones descritas en el Brain Feeling de hoy, a parte de ser un poco duras, tienen un punto extremo de racionalidad.

Yo no soy ni diseñador, ni arquitecto, ni pintor; aún más mis aptitudes para las artes plásticas son nefastas. De modo que poco a poco, en Brain Feelings futuros iremos aprendiendo junto a Josep María Alarcón, si realmente vale la pena la dureza de esta desmitificación de la proporción áurea o si han quedado fuera del artículo elementos sobre la misma, la serie de Fibonacci y sobre la geometría sagrada que cabe tener en cuenta. A parte dejo al aire una pregunta: ¿qué hay sobre la proporción divina y la música?

Josep María Alarcón

Josep María Alarcón

Un Poco De Música, ¿Cómo Suena Φ?

Esto sí que no me lo esperaba. Oír cómo suena la Proporció Áurea. Simplemente fascinante.

Muy Buen Domingo!! 🙂


Artículo Original: “The Golden Ratio: Design’s Biggest Myth” en FastCoDesign