La Espiral De Harriss, Otro Fruto De La Proporción Áurea

Hace bastantes días que no aprendemos nada sobre geometría sagrada. Hoy os propongo que conozcamos a un nuevo miembro de la familia de la Proporción Áurea: La Espiral De Harriss.

La Espiral de Harriss tiene ecos de arte Céltico pero se construye siguiendo un simple proceso de división de rectángulos.

A l@s matemátic@s les encanta aparecer con cosas nuevas. Un teorema, un lema o un colorario.

Edmund Harris ha descubierto una curva.

Edmund Harriss

Harriss es profesor de matemáticas en la Universidad de Arkansas. También es un artista cuya búsqueda intelectual empezó con una forma famosa que pertenece tanto a la ciencia como al arte, el rectángulo áureo:

El rectángulo áureo se divide en un cuadrado y en un rectángulo áureo más pequeño.

Un rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados siguen una proporción acorde con la proporción áurea, que es 1.618. En otras palabras, el lado largo es 1.618 veces el tamaño del lado corto.

Lo que es particularmente interesante del rectángulo áureo es que si dibujamos un cuadrado dentro, como se puede observar en la imagen anterior, la sección que queda (en azul) es un rectángulo áureo más pequeño.

Sigamos. Podemos dividir el rectángulo más pequeño en otro cuadrado y otro rectángulo áureo:

Cortando un rectángulo áureo.

Podemos llevar esta división hasta donde nos apetezca, siempre subdividiendo rectángulos. Y si dibujamos cuartos de círculos dentro de cada cuadrado tenemos una espiral. La imagen que sigue, es probablemente una de las imágenes más famosas de las matemáticas, cuando no de toda la ciencia. La curva se llama la Espiral Áurea:

Inspirado por la construcción clásica de la espiral áurea, Harriss empezó a jugar con el proceso de subdivisión de los rectángulos con la esperanza de ser capaz de generar otras curvas estéticamente placenteras.

Así que, más que empezar con un rectángulo y luego recortarle un cuadrado que deja un rectángulo similar, como hemos visto con el rectángulo áureo, hizo algo subversivo.

“En lugar de recortar un cuadrado, recorté un rectángulo”, afirma Harriss.

Encontró un rectángulo que se podría dividir en dos rectángulos semejantes y en un cuadrado como se ve en la imagen que sigue. El rectángulo azul y el rectángulo naranja tienen las mismas proporciones que el rectángulo mayor, una razón del 1.325.

Dado que tenemos dos de estos rectángulos podemos seguir con las divisiones:

Otra y otra y otra vez.Otra de regalo.

Finalmente el rectángulo original queda dividido en 34 rectángulos semejantes y 33 cuadrados.

¿Recordáis que para crear una espiral áurea añadimos cuartos de círculos en los cuadrados?, Harriss hizo lo mismo aquí:

Los círculos van de esquina a esquina de los cuadrados.

Vaya! Otra Espiral. Pero hay cuadrados que hemos dejado vacíos, rellenémoslos.

Las Espirales se ramifican en un patrón fractal.

Y ahora borremos el arco más grande, para conocer la “Espiral de Harriss”:

La Espiral de Harriss

La primera vez que Harriss vio la espiral estaba super excitado ya que era atractiva estéticamente. Uno de sus primeros objetivos era dibujar espirales ramificadas como las que podemos encontrar en el arte Islámico o en los trabajos de Gustav Klimt. Estaba particularmente satisfecho ya que llegó a la espiral usando un proceso matemático simple.

“El Árbol de la Vida”, Gustav Klimt

Harris comenta que: “No es tan difícil hacer algo que nadie haya visto antes […] Lo que es más difícil es hacer algo matemáticamente que satisfaga y que la gente no haya visto antes”.

Su primera preocupación fue que a lo mejor alguien ya hubiese dibujado la espiral. “Una cosa sobre los descubrimientos matemáticos y sobre el arte matemático es que, aunque el proceso sea completamente nuevo, no hay garantía que alguien no lo haya explorado ya”.

Se da que la razón 1.325, la que nos da el rectángulo que crea la Espiral de Harris, es algo sobre lo que ya se ha escrito; se conoce como el número plástico; aún así Harris no pudo encontrar ninguna evidencia de dibujos previos de la espiral. De hecho, la razón, es un número irracional que empieza con 1.32472… y continúa para siempre. De hecho se trata de una constante matemática que es la única que da solución a: x^{3}=x+1\,. Y que cuyo valor exacto es:

Valor Exacto del Número Plástico

Otra de las motivaciones de Harriss era llevar la proporción áurea a una familia más amplia de lo que el llama “sistemas de proporción“.

Como Harriss menciona: “La proporción áurea es un rincón increíblemente bien explorado de una gran ciudad […] Quería dar indicaciones de otros lugares de esa ciudad”

Los sistemas de proporción de Harriss son rectángulos que pueden subdividirse solamente en cuadrados y rectángulos semejantes.

Tan sólo hay 3 posibilidades en las que un rectángulo puede dividirse bajo esta regla:

El primero (dividido en dos rectángulos semejantes) es la proporción de un folio A4 (o cualquier A) con una razón de √2.

El segundo (un cuadro y un rectángulo semejante) es e rectángulo áureo, y el tercero (dos cuadrados) es la forma de una pieza de dominó.

Hay 16 posibilidades de rectángulos que se pueden dividir en 3. Estas son 6 opciones en las que recortamos un cuadrado grande y ponemos los dos cuadrados / rectángulos en una columna. Recordad que en cada caso, si hay un mini rectángulo debe tener las mismas proporciones que el rectángulo del que se parte.

Esta es la opción inversa, en la que recortamos un rectángulo semejante y ponemos dos cuadrados / rectángulos en una columna:

 

Y están las 4 opciones en las que los cuadrados / rectángulos están alineados:

L@s matemátic@s reconocen las razones que nos dan los sistemas de proporción de Harriss como “números algebraicos“, aquellos números que son soluciones de ecuaciones simples. Harriss opina que una aproximación geométrica a los números algebraicos puede llevar a un conocimiento mejor de los mismos.

“Las proporciones (razones) ya se pueden encontrar en las matemáticas y en el arte, lo que sugiere que los sistemas de proporción capturan alguna idea de simplicidad para estos números”, menciona Harriss, añadiendo que está trabajando en demostrar que cualquier número algebraico es una proporción de un rectángulo que pertenece a un sistema de proporción.

En base a estas proporciones, Harris ha hecho algunas espirales más. Estas son con las que de momento ha topado:

Buen Domingo!! 🙂


Artículo Original: “The golden ratio has spawned a beautiful new curve: the Harriss spiral” en The Guardian

¿Por Qué Nunca Funcionarán Las Máquinas De Movimiento Perpetuo?

Las máquinas de movimiento perpetuo, dispositivos que trabajarían indefinidamente sin ningún tipo de fuente de energía, han cautivado las imaginaciones de muchos inventores, ya que podrían transformar totalmente nuestra relación con la energía.

Podemos ver algunos intentos de intentos de máquinas de movimiento perpetuo:

O este vídeo, que es interesante:

Estas máquinas tienen un problema, no funcionan. ¿Por qué? Os propongo que lo aprendamos de mano de Netta Schramm, que nos describe los inconvenientes de las máquinas de movimiento perpetuo, en esta TED Lesson subtitulada al castellano.

 

Buen Lunes!! 🙂


Artículo Original: “Why don’t perpetual motion machines ever work? – Netta Schramm” en TED Ed

¿Podremos Teleportarnos Algún Día?

Este es el Geek Feeling de hoy domingo. Una TED Lesson presentada por Sajan Saini en el que podremos encontrar respuesta a uno de los deseos más fervientes: ¿Nos podremos teleportar algún día?

¿Es posible la teleportación? ¿Puede algo como una pelota de fútbol transformarse en algo como una onda de radio, viajar a través de edificios, girar esquinas y volver a ser una pelota de fútbol? Aunque parezca imposible, la respuesta en base a la mecánica cuántica sería SÍ. Bueno… más o menos. A ver qué nos explica Sajan.

Buen Domingo!! 🙂


Artículo Original: “Will we ever be able to teleport? – Sajan Saini” en TED Ed

Anatomía de Sueño

Los Brain Feelers más fieles sabréis que durante estos últimos días podemos admirar las obras de diferentes artistas, en lo que se ha convertido en una especie de serie, “El Arte de“.

Hoy tenía un autor de láminas anatómicas vintage que quería compartir, Jacques Fabien Gautier d’Agoty pero al buscar obras suyas me he encontrado con este post de La Medicina En el Arte (blog de Francisco Doña) que hablaba de la obra de Gautier pero que ofrecía un enlace a una apasionante galería de la National Library of Medicine, titulada Dream Anatomy.

Al abrirla todo lo que he visto ha hecho que este Brain Feeling fuese el siguiente de los de láminas vintage, como han sido:

He aquí las 80 láminas de la Colección Dream Anatomy:

Bellísimo!! 🙂

Buen Sábado!!

Ahh!! No dejéis de Visitar: La Medicina En El Arte, de Francisco Doña

Si El Universo Fuese Una Sinfonía, Así Es Cómo Sonaría Saturno

Ya aprendimos un poco sobre el sonido de los planetas en el Brain Feeling: Música y Creatividad en la Antigua Grecia, Platón, Las Musas y El Sonido de los Planetas

En este Brain Feeling de hoy me gustaría aprender sobre un punto más concreto aún: ¿Cómo sonaría Saturno si fuese una sinfonía?.

Astrofísicos de la Universidad de Toronto han usado los patrones y periodos naturales de las lunas y de los anillos de Saturno para componer dos piezas de música.

Periodo, Frecuencia y Nota (aproximada) de cada una de las lunas de Saturno.

Lo han hecho para celebrar el fin del proyecto Cassini, que después de 20 años se cerrará a medida que se hace chocar la sonda contra Saturno mientras recopila sus últimos datos.

Cassini

El Equipo estaba formado por el astrofísico Matt Russo, quien junto a su compañero de postdoctorado Dan Tamayo, crearon la música y tocaron el instrumento intergaláctico de 1.000.000 de kilómetros de longitud. Entraron en el proyecto a petición del músico Andrew Santahuida.

Para poder llevar a cabo el hito, los científicos se basaron en los datos de las resonancias orbitales de las lunas de Saturno y de los trillones de partículas que flotan en su sistema de anillos, datos recopilados por Cassini. Las resonancias orbitales reflejan las influencias gravitacionales ejercidas por los cuerpos celestes cuando se mueven unos con respecto a otros. Los patrones repetitivos pueden transformarse en harmonías musicales.

Según Russo: Dónde quiera que haya resonancia, hay también música, y no hay otro lugar en el sistema solar con más resonancias que Saturno

Su compañero, Tamayo, explica la grandiosidad de su instrumento espacial gigante: Los magnificentes anillos actúan como una mesa de sonido que lanza ondas en localizaciones que harmonizan con las lunas del planeta, y algunos pares de lunas, además, están emparejad@s en resonancia“.

Los Periodos Orbitales de las 6 resonancias de primer orden de Janus que afectan al sistema de anillos.

Para la primera pieza, que sigue el deceso de Cassini a medida que se zambulle en Saturno, los investigadores han generado notas musicales incrementando (en 27 octavas) las frecuencias orbitales de las 6 mayores lunas interiores de Saturno. Lo que podemos oír esencialmente en la pieza son las las frecuencias orbitales de las lunas pero movidas dentro del espectro auditivo de los humanos. Cada vez que una luna completa una órbita, una simulación de ordenador del sistema de la luna toca las notas correspondientes.

Comparación del Espectro Audible del Ser Humano con el del perro y el del muerciélago.

Un sistema lunar tiene dos resonancias orbitales que pueden resultar en una estructura de una melodía como un zumbido o cómo una nana. Por ejemplo, las lunas Mimas y Tethys, se hallan en una resonancia 2:1, lo que significa que Mimas completa dos órbitas por cada órbita que completa Tethys. Las lunas Enceladus y Dione tienen la misma relación. A medida que se combinan los ritmos, los patrones musicales resultantes entran y salen de sincronía en modos fascinantes.

Russo explica que: “Como que el doblar la frecuencia de una nota produce la misma nota pero de una octava más alta, las 4 lunas internas producen solamente dos notas que están muy cerca de una quinta […] La quinta luna, Rhea, completa un acorde mayor que se distribuye por la ominosa entrada  de la luna más grande de Saturno, Titán”.

La música que aparece como frecuencias orbitales crecientes de los anillos se convierte en un tono creciente, mientras que el volumen sube y baja en correspondencia con el brillo y la oscuridad de la banda de anillos. El final (la muerte de Cassini) está inspirado por un acorde mayor de la canción “A Day In The Life” de los Beatles, de acuerdo con lo que afirman los científicos.

Escuchemos la primera pieza aquí:

 

La segunda pieza, que también honra los últimos meses de la misión Casini, presume de las escalas que tocan las lunas Janus y Epimethus (dos lunas que orbitan fuera del sistema principal de anillos de Saturno). Están en resonancia 1:1 (el único par en el sistema solar). Básicamente intercambian sus lugares cada 4 años. La música nos muestra su relación con un zumbido unísono de ritmo constantemente cambiante pero repetitivo. Russo tocó un Do# en la guitarra por cada órbita. Y un chelo toca la nota para cada resonancia en los anillos.

Afirma que: “Cada anillo es cómo una cuerda circular, que está continuamente curvada por Janus y Epimetheus a medida que intentan atraparse una a otra en su órbita compartida. […] Las lunas danzantes de Saturno ahora tienen una banda Sonora“.

Podemos escuchar esta pieza aquí:

 

El grupo también ha completado un experimento musical similar en referencia al sistema planetario Trappist-1.

Tabla de madera con surcos del sistema principal de anillos de Saturno diseñada para las personas con incapacidades visuales.

El Trabajo De Cassini y De Su Equipo

He aquí algunas de las imágenes del proyecto Cassini.

Buen Sábado!! 🙂


Artículo Original: “If the Universe Was a Symphony, Here’s What Saturn Would Sound Like” en Big Think

Imágenes de Cassini en NASA

¿Qué Es Un Doctorado (PhD)?, una guía ilustrada

Matthew Might, un profesor de informática de la Universidad de Utah, escribe que: “Cada otoño, explico a un nuevo grupo de estudiantes de doctorado (PhD) lo que un doctorado es. Es difícil de describir en palabras. De modo que utilizo imágenes.”

En su Guía Ilustrada al Doctorado, el Profesor Might crea una narrativa visual que sitúa el abrumador grado en perspectiva. Cualquier persona que haya perseguido un doctorado verá que en él hay sabiduría.

Aprendamos una versión condensada de la guía del profesor y a continuación desarrollémosla.

Guía Condensada

Imagínate un círculo que contiene todo el conocimiento humano:

Al terminar la escuela elemental conocemos un poco:

Al terminar el instituto sabemos un poco más:

Con una carrera, ganamos en especialidad:

Con un máster profundizamos en esa especialidad:

El leer investigaciones, y artículos nos lleva hasta el borde del conocimiento humano:

Una vez que estás en la frontera te concentras:

La empujas fuerte durante una temporada:

Hasta que un día cede:

Y esa muesca que has hecho es lo que se llama Doctorado (PhD):

Por supuesto el mundo es ahora diferente para ti:

Pero recuerda el panorama general:

Buen Miércoles!! 🙂


Artículo Original: “The Illustrated Guide to a PhD: 12 Simple Pictures That Will Put the Daunting Degree into Perspective” en Open Culture

¿Qué Es El Asma?

Me gustaría empezar el domingo aprendiendo un poco más sobre ¿qué es el asma?

Más de 300 millones personas en el mundo sufren de asma, y alrededor de 250.000 mueren de asma cada año. Pero, ¿por qué la gente tiene asma? y ¿por qué esta enfermedad puede ser mortal?

Aprendamos de la mano de Chrstopher E. Gaw, los síntomas principales y los tratamientos del asma.

 

Buen Domingo!! 🙂


Artículo Original: “How does asthma work? – Christopher E. Gaw” en TED Ed